A me sembra un problema dell'app. Non è che è configurata con POP3?

No l'app è configurabile solo come IMAP, se fosse come POP3 non riceverei i messaggi in entrata su Thunderbird. Il problema si verifica SOLO per quelli inviati tramite app Aruba PEC

Al contrario: anche con POP3 riceveresti i messaggi in entrata. POP3 non permette di sincronizzare la posta in uscita.

Ah potrebbe essere, l'app non permette di impostare altro che username e password, non c'è possibilità di scegliere fra pop3 e imap, ho sempre pensato che fosse imap perché si può scaricare la posta in entrata da qualunque programma esterno e solitamente con pop3 viene scaricato il messaggio dal server una volta sola. Proverò a chiedere ad Aruba se è così.

Grazie della possibile spiegazione.

Quel che dici è tecnicamente corretto ma desueto. In passato il protocollo POP3 era implementato in modo da cancellare i messaggi dopo averli scaricati. Attualmente quasi tutti i client, incluso Thunderbird, scaricano la posta ma non la cancellano dal server. Deve eventualmente essere l'utente a cambiare impostazioni. Per questo più client sono in grado scaricare la stessa posta da un server POP3.

Comunque attendiamo cosa dice Aruba.

L'app di Aruba PEC è IMAP. mi hanno dato indicazioni per la sincronizzazione della casella fra l'app e Thunderbird, quello che ancora non quadra è che adesso su Thunderbird ho una cartella INVIATA (messaggi inviati con app) e POSTA INVIATA (messaggi inviati con Thunderbird). Stessa cosa per CESTINO (due cartelle con lo stesso nome). C'è modo di sistemare questo ?

Dipende... se le cartelle sono state create anche sul server ti conviene tenerle come sono.