Tente uma Reinstalação Limpa. Isso significa remover todos os arquivos relacionados ao Firefox para depois reinstalá-lo. Para isso, por favor, siga os passos abaixo:

Nota: Talvez você queira imprimir esses passos ou abrí-lo em outro navegador.

1. Baixe a última versão do Firefox para Desktop em http://www.mozilla.org e salve o arquivo de instalação no seu computador.
2. Quando o download acabar, feche todas as janelas do Firefox (clique no botão Sair ou através do menu Arquivo).
3. Delete a pasta de instalação do Firefox, que está localizada em um dos seguintes diretórios, por padrão:
   • Windows:
     • C:\Arquivos de Programas\Mozilla Firefox
     • C:\Arquivos de Programas (x86)\Mozilla Firefox
4. Agora, vá em frente e reinstale o Firefox

Atenção: Não use o desinstalador do Firefox ou um removedor de terceiros como parte desse processo, porque isso poderia excluir permanentemente os dados do Firefox, incluindo mas não limitado a extensões, cache, cookies, favoritos, configurações pessoais e senhas salvas. Estes não podem ser recuperados, a menos que tenham sido copiados para um dispositivo externo!

Agradeço a resposta, Marco Aurélio, mas infelizmente não deu certo.

O problema com a seção "Reabrir abas fechadas" resolveu-se sozinho antes de fazer esta restauração, mas todos os outros problemas persistem.

Olá Mmonaco, para os favoritos tente esta opção:

       1- Clique no botão favoritos em seguida clique em Exibir todos os favoritos para abrir a janela da Biblioteca.
      2- Na janela Biblioteca, clique no botao Importar e backup e selecione Restaurar.

       3- Escolha a cópia de segurança que deseja restaurar:
      * As cópias datadas foram criadas automaticamente.
      * Selecionar arquivo... permite que você restaure uma cópia criada manualmente 
     4- Após escolher a cópia, seus favoritos daquele arquivo serão restaurados. Feche a janela Biblioteca.

Já com o Botão "Limpar Downloads" tente limpar o cache:

1- Clique no botão Menu , depois em Opções 2- Selecione o painel Avançado. 3- Clique na aba Rede. 4- Na seção Cache de conteúdo web, clique em Limpar agora

Caso não dê certo também, tente Restaurar o Firefox:

[Firefox para Padrão]

Obrigada pela resposta ramonmds, mas os favoritos não estavam com problema, todos os favoritos da restauração que você sugeriu já estavam na barra e funcionando normalmente, o problema era o histórico de sites e histórico de downloads.

ramonmds, segui suas instruções para limpar o cache e agora tudo parece estar funcionando normalmente, não apenas o botão "Limpar downloads", mas o histórico de sites e o histórico de downloads voltaram a registrar os endereços e os arquivos.

Claro que, com a limpeza do cache, todas as informações anteriores do histórico de sites foram apagadas, mas tudo parece ter voltado ao normal (consegui limpar um download que fiz para testar e a seção "Hoje" voltou a aparecer no histórico).

Eu já havia tentado a opção "Restaurar o Firefox", mas os problemas continuaram iguais.

Muito obrigada!

Não tem de que! O nosso prazer é encontrar soluções para usuários Mozilla!